Operador semisimple
En matemàtiques, i més concretament en l'àmbit de l'àlgebra lineal, la noció d'operador semisimple constitueix una generalització de matriu diagonalitzable. Permet distingir dos tipus de problemes a l'hora de generalitzar: per una banda, les dificultats vinculades a l'aritmètica del cos de coeficients al qual es considera l'operador (o la matriu), i per altra banda, les dificultats independents del cos escollit.
Una matriu A a coeficients dins un cos commutatiu K s'anomena semisimple sobre K si tot subespai invariant per A té un subespai complementari invariant per A.[1]
Un resultat important sobre operadors semisimples és que un operador lineal sobre un espai vectorial de dimensió finita sobre un cos algebraicament tancat és semisimple si i només si és diagonalitzable.[1] Això és així perquè un tal operador sempre té un vector propi; si, a més, és semisimple, llavors té un hiperplà invariant complementari, que al seu torn té un vector propi, i així per inducció és diagonalitzable. Recíprocament, és fàcil veure que els operadors diagonalitzables són semisimples, ja que els subespais invariants són suma directa d'espais propis, i qualsevol base d'aquest espai es pot estendre a una base pròpia.
Resultats generals
La semisimplicitat es pot caracteritzar amb l'ajuda del polinomi mínim de la matriu considerada: una matriu a coeficients dins K és semisimple si i només si el seu polinomi mínim no té cap factor quadrat (és a dir, no admet cap divisor que sigui el quadrat d'un altre polinomi) dins K[X].
En particular, en el cas en què totes les arrels del polinomi mínim de A pertanyin a K, l'afirmació anterior es reformula com «A és semisimple si i només si és diagonalitzable».
Si el cos de coeficients té la propietat de ser perfecte (per exemple qualsevol cos finit; o qualsevol cos de característica zero, com ara el cos dels nombres racionals o el cos dels nombres reals), és a dir, que tots els polinomis irreductibles a coeficients en aquest cos tenen només arrels simples dins una clausura algebraica del cos, aquesta caracterització es pot escriure com «una matriu és semisimple si i només si és diagonalitzable dins una clausura algebraica del cos».
Demostració |
---|
Si el polinomi mínim M de A té un factor quadrat P², llavors la matriu A no és semisimple. En efecte, el subespai Im(P(A)) és un subespai invariant i, si S designa un complementari estable d'aquest subespai, llavors , d'una banda per ser invariant, i de l'altra perquè P divideix M/P. D'aquí obtenim que M/P és un polinomi anul·lador de A, en contradicció amb la definició de polinomi mínim. Recíprocament, si el polinomi mínim M de A no té cap factor quadrat, i denotem per S un subespai invariant per A, llavors el polinomi mínim N de A considerat com a restrucció a S és un divisor de M. Hom pot verificar que S és el nucli de N(A), i admet com a complementari invariant el nucli de M/N(A), segons el lema dels nuclis. En el cas d'un cos perfecte, el polinomi mínim no té cap factor quadrat si i només si és separable; és a dir, factoritza en factors simples dins una clausura algebraica de K. |
Exemple en un cos no perfecte
Les definicions i els resultats que hem vist poden dependre del cos K de referència. A continuació veurem un exemple "patològic" que permet observar certes subtileses.
Sigui F₂ el cos de dos elements, i sigui K = F₂(Y), el cos de les fraccions algebraiques sobre F₂. Definim la matriu
El polinomi característic d'aquesta matriu és χA(Z) = Z² - Y, que no té arrels dins K, perquè Y no és quadrat dins K, donat que la seva valoració és senar. Això ens diu que la matiru A no té cap valor propi dins K. Aleshores A és semisimple dins K.
Considerem ara l'extensió quadràtica L = K[X]/(Y - X²), el cos de descomposició de χA.
Sobre L, χA(Z) = Z² - X² = (Z - X)² ja no és irreductible, i A té com a valor propi doble X. Si A fos diagonalitzable, seria semblant a la matriu diagonal XI, i per tant igual a aquesta matriu. Però hom pot veure que A no és una matriu diagonal. Per tant, no és diagonalitzable, i en conseqüència no és semisimple dins L.
Referències
Bibliografia
- Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray. Semi-Simple operators (en anglès). Pearson Education, 2003, p. 262-265. ISBN 81-297-0213-4.
- Bertin, Jean-Marie Arnaudiès, José. Groupes, algèbres et géométrie. (en francès). París: Ellipses, 1993. ISBN 978-2729843083.