Fonction zêta de Hurwitz En mathématiques , la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta .
Elle est définie, pour toute valeur q du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes s tels que Re(s ) > 1 :
ζ ( s , q ) = ∑ k = 0 ∞ ( k + q ) − s {\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s}} . Par prolongement analytique, ζ ( ⋅ , q ) {\displaystyle \zeta (\cdot ,q)} s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle s = 1 .
ζ ( ⋅ , 1 ) {\displaystyle \zeta (\cdot ,1)} est la fonction zêta de Riemann .
Représentation intégrale ζ ( s , q ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t q 1 − e − t d t {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\operatorname {\Gamma } (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\operatorname {e} ^{-tq}}{1-\operatorname {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t} , où Γ désigne la fonction Gamma[ 1] .
Prolongement analytique La fonction ζ ( ⋅ , q ) {\displaystyle \zeta (\cdot ,q)} s'étend en une fonction méromorphe, d'unique pôle s = 1 , simple, avec un résidu égal à 1 [ 2] .
Développement de Laurent Son développement de Laurent en ce pôle est
ζ ( s , q ) = 1 s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! γ n ( q ) ( s − 1 ) n {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)(s-1)^{n}} où les coefficients
γ n ( q ) = lim N → ∞ { ( ∑ k = 0 N ln n ( k + q ) k + q ) − ln n + 1 ( N + q ) n + 1 } , n ∈ N {\displaystyle \gamma _{n}(q)=\lim _{N\to \infty }\left\{\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {\ln ^{n}(k+q)}{k+q}}\right)-{\frac {\ln ^{n+1}(N+q)}{n+1}}\right\},\qquad n\in \mathbb {N} } [ 3] sont les « constantes de Stieltjes généralisées » (les constantes de Stieltjes usuelles γ n ( 1 ) {\displaystyle \gamma _{n}(1)} correspondent à la fonction zêta de Riemann).
La généralisation correspondante de la formule de Jensen-Franel est la formule de Hermite[ 4] :
γ n ( q ) = ( 1 2 q − ln q n + 1 ) ln n q − i ∫ 0 ∞ d x e 2 π x − 1 { ln n ( q − i x ) q − i x − ln n ( q + i x ) q + i x } {\displaystyle \gamma _{n}(q)=\left({\frac {1}{2q}}-{\frac {\ln q}{n+1}}\right)\ln ^{n}q-\mathrm {i} \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\operatorname {e} ^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {\ln ^{n}(q-\mathrm {i} x)}{q-\mathrm {i} x}}-{\frac {\ln ^{n}(q+\mathrm {i} x)}{q+\mathrm {i} x}}\right\}} . La constante d'indice 0 est l'opposée de la fonction digamma[ 4] :
γ 0 ( q ) = − ψ ( q ) = − Γ ′ ( q ) Γ ( q ) {\displaystyle \gamma _{0}(q)=-\psi (q)=-{\frac {\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}} .
La formule de Hurwitz[ 3] , [ 5] est le théorème suivant, valide pour 0 < q < 1 et Re(s ) > 0 , ainsi que pour q = 1 et Re(s ) > 1 :
ζ ( 1 − s , q ) = Γ ( s ) ( 2 π ) s [ e − i π s / 2 F ( q , s ) + e i π s / 2 F ( − q , s ) ] {\displaystyle \zeta (1-s,q)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\left[{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\pi s/2}F(q,s)+{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi s/2}F(-q,s)\right]} où
F ( q , s ) := ∑ k = 1 ∞ exp ( 2 π i k q ) k s = Li s ( e 2 π i q ) {\displaystyle F(q,s):=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi {\rm {i}}kq)}{k^{s}}}={\mbox{Li}}_{s}({\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}q})} , Lis étant la fonction polylogarithme.
Équation fonctionnelle L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche — et droit — du plan complexe. Pour les nombres entiers 1 ≤ m ≤ n , {\displaystyle 1\leq m\leq n,}
ζ ( 1 − s , m n ) = 2 Γ ( s ) ( 2 π n ) s ∑ k = 1 n cos ( π s 2 − 2 π k m n ) ζ ( s , k n ) {\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)} reste valable pour toutes les valeurs de s .
Développement en série de Taylor La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer :
∂ ∂ q ζ ( s , q ) = − s ζ ( s + 1 , q ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q)} . Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :
ζ ( s , x + y ) = ∑ k = 0 ∞ y k k ! ∂ k ∂ x k ζ ( s , x ) = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 s − 1 ) ( − y ) k ζ ( s + k , x ) {\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)} .
La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre .
Relation avec les polynômes de Bernoulli Puisque, avec la notion F introduite ci-dessus , la série de Fourier des polynômes de Bernoulli est (pour 0 < x < 1 {\displaystyle 0<x<1} et n ∈ N ∗ {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}} ) :
B n ( x ) = − n Γ ( n ) ( 2 π ) n ( ( − i ) n F ( x , n ) + i n F ( − x , n ) ) {\displaystyle B_{n}(x)=-n{\frac {\Gamma (n)}{(2\pi )^{n}}}\left((-\mathrm {i} )^{n}F(x,n)+\mathrm {i} ^{n}F(-x,n)\right)} , la formule de Hurwitz donne (pour 0 < x < 1 et n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) :
ζ ( − n , x ) = − B n + 1 ( x ) n + 1 {\displaystyle \zeta (-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}} [ 6] .
Relation avec les fonctions L de Dirichlet En fixant un entier Q ≥ 1 , les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo Q sont des combinaisons linéaires de ζ(s ,q ) où q = k /Q et k = 1, 2, ..., Q .
Plus précisément, soit χ un caractère de Dirichlet mod Q . La fonction L de Dirichlet associée s'écrit :
L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s = 1 Q s ∑ k = 1 Q χ ( k ) ζ ( s , k Q ) {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{Q^{s}}}\sum _{k=1}^{Q}\chi (k)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{Q}}\right)} . Par inversion de Plancherel , on en déduit, pour toute fraction irréductible k / Q ∈ ] 0 , 1 ] {\displaystyle k/Q\in \left]0,1\right]} :
ζ ( s , k Q ) = Q s φ ( Q ) ∑ χ χ ¯ ( k ) L ( s , χ ) {\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {k}{Q}}\right)={\frac {Q^{s}}{\varphi (Q)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(k)L(s,\chi )} , la somme portant sur tous les caractères de Dirichlet mod Q .
Relation avec la fonction polygamma La fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma :
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z ) {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)} .
Relation avec la fonction transcendante de Lerch La fonction transcendante de Lerch généralise la fonction zêta de Hurwitz :
Φ ( z , s , q ) = ∑ k = 0 ∞ z k ( k + q ) s {\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}} et ainsi
ζ ( s , q ) = Φ ( 1 , s , q ) {\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q)} .
Relation avec la fonction thêta de Jacobi Si ϑ ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta (z,\tau )} est la fonction thêta de Jacobi, alors
∫ 0 ∞ [ ϑ ( z , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) [ ζ ( 1 − s , z ) + ζ ( 1 − s , 1 − z ) ] {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,{\rm {i}}t)-1\right]t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]} reste valable pour Re s > 0 et z complexe non entier.
Pour z = n un entier, ceci se simplifie en
∫ 0 ∞ [ ϑ ( n , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = 2 π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) ζ ( 1 − s ) = 2 π − s / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,{\rm {i}}t)-1\right]t^{s/2}{\frac {{\rm {d}}t}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)} où ζ est la fonction zêta de Riemann. Cette distinction selon l'intégralité de z rend compte du fait que la fonction thêta de Jacobi converge vers la fonction δ de Dirac pour z lorsque t → 0 .
Applications La fonction zêta de Hurwitz apparaît principalement en théorie des nombres , mais aussi dans les statistiques appliquées ; voir la loi de Zipf et la loi de Zipf-Mandelbrot (en) .
Références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais
« Hurwitz zeta function » (voir la liste des auteurs) et
« Stieltjes constants » (voir la liste des auteurs) .
↑ Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité . ↑ Voir par exemple Apostol 1976 , p. 255, ou cet exercice corrigé sur Wikiversité . ↑ a et b (en) Bruce C. Berndt , « On the Hurwitz zeta-function », Rocky Mountain J. Math. , vol. 2, no 1, 1972 , p. 151-158 (lire en ligne) . ↑ a et b (en) Iaroslav V. Blagouchine, « A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations », J. Number Theory , vol. 148, 2015 , p. 537-592 (arXiv 1401.3724 ) . ↑ Apostol 1976 , p. 257-259. ↑ Voir par exemple Apostol 1976 , p. 264, ou cet exercice corrigé sur Wikiversité .
Voir aussi
Article connexe Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing
Bibliographie (en) Tom M. Apostol , Introduction to Analytic Number Theory , Springer , 1976 (lire en ligne) , chap. 12 (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne) , § 6.4.10 (en) Djurdje Cvijovic et Jacek Klinowski, « Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments », Math. Comp. , vol. 68, 1999 , p. 1623-1630 (lire en ligne)
Lien externe (en) Eric W. Weisstein , « Hurwitz Zeta Function », sur MathWorld
Portail de l'analyse