Teorema della probabilità totale

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Il teorema della probabilità totale consente di calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di due o più eventi, ovvero la probabilità dell'unione di essi^[1]. Il teorema ha due diverse formulazioni, a seconda che si considerino solo eventi a due a due incompatibili o eventi qualsiasi.

Dato un insieme ${\displaystyle A_{i}}$ finito o numerabile di eventi a due a due incompatibili, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale alla somma delle probabilità degli eventi.

Questa è una prima formulazione del teorema, che si dimostra come segue.

Nel caso di due eventi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ incompatibili, se cioè ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$, si applica il terzo assioma della probabilità:

${\displaystyle A\cap B=\varnothing \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$

Si dimostra per induzione che ciò vale anche per un insieme finito di eventi ${\displaystyle A_{n}}$ a due a due incompatibili, ovvero che:

${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing ,i\neq j\Rightarrow P\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})}$

Essendo la probabilità una funzione di insieme continua, essendo quindi:

${\displaystyle P\left(\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }P(A_{n})}$

il risultato può essere esteso ad unioni numerabili di eventi:

${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing ,i\neq j\Rightarrow P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})}$

Infatti:

• dalla definizione di limite per successioni di insiemi crescenti si ha:

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$;

• dalla continuità delle funzioni di probabilità segue:

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=P\left(\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }P\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})}$

Se si lancia un dado, e si indicano con ${\displaystyle A_{1}\ldots A_{6}}$ gli eventi "ottengo ${\displaystyle 1}$", ..., "ottengo ${\displaystyle 6}$", gli eventi sono a due a due incompatibili ed hanno ciascuno probabilità pari a ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$. La probabilità dell'evento "ottengo un numero maggiore di ${\displaystyle 4}$" è:

${\displaystyle P(A_{5}\cup A_{6})={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}}$

Dato un insieme finito ${\displaystyle A_{i}}$ di eventi, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale a:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n})=&\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})-\sum _{i_{1}<i_{2}}P(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}})+\cdots \\&+(-1)^{r+1}\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}}P(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \cdots \cap A_{i_{r}})+\cdots \\&+(-1)^{n+1}P(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n})\end{aligned}}}$

dove ciascuna somma ${\displaystyle \ \sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}}}$ è calcolata per tutti gli ${\displaystyle {n \choose r}}$ possibili sottoinsiemi di ${\displaystyle r}$ elementi dell'insieme ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$.

È questa la formulazione più generale del teorema, che vale anche per eventi non incompatibili e si dimostra come segue.

Se gli eventi considerati non sono a due a due incompatibili, si deve tenere conto delle loro intersezioni. In particolare, la probabilità di due eventi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, in generale, è pari alla somma delle singole probabilità ${\displaystyle P(A)}$ e ${\displaystyle P(B)}$ diminuita della probabilità della loro intersezione:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

Infatti, scomponendo sia ${\displaystyle A\cup B}$ che ${\displaystyle B}$ in unioni di insiemi disgiunti ed applicando ad esse il quarto assioma, si ha:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A\cup B=A\cup ({\overline {A}}\cap B),&P(A\cup B)=P(A)+P({\overline {A}}\cap B)\\&B=(A\cap B)\cup ({\overline {A}}\cap B),&P(B)=P(A\cap B)+P({\overline {A}}\cap B)\end{aligned}}}$

Sottraendo membro a membro le due equazioni si ha:

${\displaystyle \ P(A\cup B)-P(B)=P(A)-P(A\cap B)}$

da cui segue la formula data sopra.

Con più di due eventi, alla somma delle probabilità di ciascuno si deve sottrarre la somma delle loro intersezioni due a due, poi aggiungere la somma delle loro intersezioni tre a tre e così via. Nel caso di tre eventi ${\displaystyle A,\,B}$ e ${\displaystyle C}$, si ha:

${\displaystyle \ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)}$

La formula per il caso di ${\displaystyle n}$ eventi si dimostra per induzione (v. anche il principio di inclusione-esclusione).

Il teorema nella sua forma generale non può essere esteso a unioni numerabili di eventi. In tali casi risulta applicabile solo la disuguaglianza di Boole.

Se si lanciano due dadi e si indicano con ${\displaystyle A_{1}}$ l'evento "il primo dado dà ${\displaystyle 6}$", con ${\displaystyle A_{2}}$ l'evento "il secondo dado dà ${\displaystyle 6}$", l'evento "almeno un dado dà ${\displaystyle 6}$" è unione di due eventi non incompatibili, in quanto può verificarsi anche la loro intersezione ("entrambi i dadi danno ${\displaystyle 6}$"). La probabilità di ottenere almeno un ${\displaystyle 6}$ (anche più di uno quindi) è dunque:

${\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}\cap A_{2})={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{36}}={\frac {11}{36}}}$

In un ristorante vi sono 3 sale ed entrano 10 persone, ciascuna delle quali sceglie a caso una sala. Qual è la probabilità che almeno una delle sale resti vuota? Le persone possono scegliere le sale in ${\displaystyle 3^{10}}$ modi diversi (numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 10); vi sono ${\displaystyle 2^{10}}$ modi di lasciar vuota una sala (le 10 persone si dispongono solo in due sale). Indicando con ${\displaystyle A_{i}}$ l'evento "rimane vuota la ${\displaystyle i-}$esima sala", le probabilità sono:

${\displaystyle P(A_{1})=P(A_{2})={\frac {2^{10}}{3^{10}}}}$

La probabilità dell'evento "rimane vuota una sala" è:

${\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}\cap A_{2})={\frac {2^{10}+2^{10}-1}{3^{10}}}}$

in quanto potrebbero restarne vuote due (un solo caso possibile: tutti nell'altra).

• Probabilità
• Principio di inclusione-esclusione
• Probabilità condizionata
• Indipendenza stocastica
• Teorema della probabilità composta
• Teorema della probabilità assoluta
• Teorema di Bayes
• Legge delle aspettative iterate
• Legge della varianza totale

• probabilita totale, teorema della, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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