Triangolo equilatero
Nella geometria euclidea, un triangolo equilatero è un triangolo avente i suoi tre lati congruenti tra loro. Si dimostra che i suoi angoli sono tutti congruenti e pari a 60° = rad[1]. Poiché è sia equilatero sia equiangolo è il poligono regolare con tre lati.
I triangoli equilateri sono particolari triangoli isosceli. Tutti i triangoli equilateri sono simili tra di loro: per caratterizzare metricamente un triangolo equilatero, ovvero per caratterizzare la classe dei triangoli equilateri nel piano ottenibili gli uni dagli altri mediante traslazioni e rotazioni, serve e basta un parametro estensivo; tipicamente si usa la lunghezza dei suoi lati.
Nei triangoli equilateri, le bisettrici, le mediane, le altezze e gli assi si sovrappongono cosicché lo stesso punto rappresenta l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro.
Il gruppo delle simmetrie del triangolo equilatero è costituito dall'identità, dalle rotazioni intorno al suo centro di 120° e di 240° e dalle riflessioni rispetto alle bisettrici degli angoli. Tale gruppo è isomorfo al gruppo simmetrico di 3 oggetti S3.
Costruzione
Come mostra Euclide in Elementi I, 1 (è la prima proposizione di tutta l'opera), il triangolo equilatero dato il lato AB si può costruire con riga e compasso in questo modo:
- Si punta il compasso in A con apertura AB e si traccia una circonferenza;
- Si punta il compasso in B con apertura BA e si traccia una circonferenza;
- Il punto d'incontro delle circonferenze C è il terzo punto cercato;
- Unendo A, B e C si ottiene un triangolo equilatero.
La dimostrazione è semplice: essendo, per definizione, tutti i punti della circonferenza equidistanti dal centro, il segmento AB è congruente ad AC, e AB è congruente a BC. Ma allora per la proprietà transitiva della congruenza, AB = AC = BC e il triangolo è equilatero.
Formule
Indicando con il lato del triangolo, con il perimetro, con l'area, con la base e con l'altezza si ha:
Perimetro
Area
- Altezza
Applicazioni del teorema di Pitagora
Circonferenza inscritta e circoscritta
Il centro geometrico del triangolo è il centro delle circonferenze inscritta e circoscritta al triangolo equilatero
Il raggio della circonferenza circoscritta è da cui
Il raggio della circonferenza inscritta è da cui
L'area, noto R, è
Note
- ^ Questo avviene solo nella geometria euclidea, dove la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale all'angolo piatto. Dunque 180°÷3=60°
Voci correlate
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Collegamenti esterni
- triangolo equilatero, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Eric W. Weisstein, Triangolo equilatero, su MathWorld, Wolfram Research.
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