Funkcja meromorficzna
Funkcja meromorficzna – funkcja określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze gdzie oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji [1].
Termin ten pochodzi od greckiego meros (μέρος), oznaczającego „część”.
Twierdzenia
Tw. 1 Każdą funkcję meromorficzną można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:
przy czym funkcja nie może być stale równa Zbiór biegunów jest zbiorem zer funkcji
Tw. 2 Jeżeli zbiór jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w ).
Tw. 3 Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna
gdzie oznacza sferę Riemanna, nazywana okresem funkcji
Twierdzenia cd.
- Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna.
- Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne, są funkcjami meromorficznymi.
- Funkcja Γ (Gamma), funkcja ζ (dzeta Riemanna) są meromorficzne.
- Funkcje eliptyczne są „dwuokresowymi” funkcjami meromorficznymi określonymi na
- Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, są niezmiennicze na działanie grupy modularnej; w szczególności istnieje tzw. niezmiennik j.
- jest funkcją meromorficzną o nieskończenie wielu biegunach.
Przypisy
- ↑ funkcje meromorficzne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
Bibliografia
- Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.