Prosta Eulera
Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez:
- ortocentrum tego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie),
- środek okręgu opisanego (linie zielone),
- środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe),
- środek okręgu dziewięciu punktów.
Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.
Dowód
Niech będą obrazami punktów w jednokładności o skali i środku w punkcie
Wtedy
Czworokąt jest równoległobokiem, więc
Zatem
Środek ciężkości dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc
Ponieważ to bo są to kąty naprzemianległe.
Zatem jest obrazem w jednokładności o środku w i skali
Stąd otrzymujemy, że leżą na jednej prostej oraz
Linki zewnętrzne
- ChuongCh. Nguyen ChuongCh., HungH. Nguyen HungH., Pewne uogólnienie prostej Eulera, „Delta”, grudzień 2016, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-10-06] .
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Euler Line, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-10-06].
- Wysokości trójkąta a prosta Eulera na cut-the-knot (ang.)
- Prosta Eulera a okrąg dziewięciu punktów na cut-the-knot (ang.)