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Formulação covariante [en] |
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O tensor de tensão de Maxwell (em homenagem a James Clerk Maxwell) é um tensor simétrico de segunda ordem usado no eletromagnetismo clássico para representar a interação entre as forças eletromagnéticas e o momento mecânico. Em situações simples, como uma carga pontual movendo-se livremente em um campo magnético homogêneo, é fácil calcular as forças sobre a carga a partir da lei de força de Lorentz. Quando a situação se torna mais complicada, esse procedimento comum pode se tornar impraticável, com equações abrangendo várias linhas. Portanto, é conveniente coletar muitos desses termos no tensor de tensão de Maxwell e usar a aritmética de tensores para encontrar a resposta para o problema em questão.
Na formulação relativística do eletromagnetismo, o tensor de Maxwell aparece como uma parte do tensor eletromagnético de tensão–energia que é o componente eletromagnético do tensor de tensão–energia total. O último descreve a densidade e o fluxo de energia e momento no espaço-tempo.
Motivação
Conforme descrito abaixo, a força eletromagnética é escrita em termos de e . Usando o cálculo vetorial e as equações de Maxwell, a simetria é procurada nos termos contendo e , e a introdução do tensor de tensão de Maxwell simplifica o resultado.
Equações de Maxwell em unidades SI em vácuo
(para referência) Nome | Forma diferencial |
Lei de Gauss (no vácuo) | |
Lei de Gauss para magnetismo | |
Equação de Maxwell – Faraday (Lei de indução de Faraday) | |
Lei dos circuitos de Ampère (no vácuo) (com a correção de Maxwell) | |
- Começando com a lei de força de Lorentz
a força por unidade de volume é
- Em seguida, e podem ser substituídos pelos campos e , usando a lei de Gauss e a lei dos circuitos de Ampère:
- A derivada do tempo pode ser reescrita para algo que pode ser interpretado fisicamente, ou seja, o vetor de Poynting. Usando a regra do produto e a lei de indução de Faraday dá e agora podemos reescrever como então coletar termos com e dá
- Um termo parece estar "faltando" da simetria em e , o que pode ser obtido inserindo por causa da lei de Gauss para o magnetismo: Eliminando as ondulações (que são bastante complicados de calcular), usando a identidade de cálculo vetorial leva a:
- Essa expressão contém todos os aspectos do eletromagnetismo e do momento e é relativamente fácil de calcular. Pode ser escrito de forma mais compacta introduzindo o tensor de tensão de Maxwell, Todos, exceto o último termo de podem ser escritos como a divergência do tensor de tensão de Maxwell, dando: Como no teorema de Poynting, o segundo termo no lado direito da equação acima pode ser interpretado como a derivada temporal da densidade de momento do campo eletromagnético, enquanto o primeiro termo é a derivada temporal da densidade de momento para as partículas massivas. Desta forma, a equação acima será a lei de conservação do momento na eletrodinâmica clássica. onde o vetor de Poynting foi introduzido
na relação acima para a conservação do momento, é a densidade do fluxo de momento e desempenha um papel semelhante a no teorema de Poynting.
A derivação acima assume conhecimento completo de ambos e (tanto cargas livres quanto limitadas e correntes). Para o caso de materiais não lineares (como ferro magnético com uma curva BH), o tensor de tensão de Maxwell não linear deve ser usado.[1]
Equação
Na física, o tensor de tensão de Maxwell é o tensor de tensão de um campo eletromagnético. Conforme derivado acima em unidades S.I., é dado por:
- ,
onde é a constante elétrica e é a constante magnética, é o campo elétrico, é o campo magnético e é o delta de Kronecker. Na unidade cgs gaussiana, é dado por:
- ,
onde é o campo magnetizante [en].
Uma forma alternativa de expressar este tensor é:
onde é o produto diádico, e o último tensor é a díade unitária:
O elemento do tensor de tensão de Maxwell tem unidades de momento por unidade de área por unidade de tempo e fornece o fluxo de momento paralelo ao -ésimo eixo cruzando uma superfície normal ao -ésimo eixo (na direção negativa) por unidade de tempo.
Essas unidades também podem ser vistas como unidades de força por unidade de área (pressão negativa), e o elemento do tensor também pode ser interpretado como a força paralela ao -ésimo eixo sofrida por uma superfície normal ao -ésimo eixo por unidade de área. De fato, os elementos diagonais fornecem a tensão (puxando) atuando em um elemento de área diferencial normal ao eixo correspondente. Ao contrário das forças devido à pressão de um gás ideal, um elemento de área no campo eletromagnético também sente uma força em uma direção que não é normal ao elemento. Este cisalhamento é dado pelos elementos fora da diagonal do tensor de tensão.
O tensor de tensão de Maxwell é um número complexo cuja parte real é a densidade de fluxo de momento [en] de Poynting.[2]
Na magnetostática
Se o campo for apenas magnético (o que é amplamente verdadeiro em motores, por exemplo), alguns dos termos desaparecem e a equação em unidades S.I. torna-se:
Para objetos cilíndricos, como o rotor de um motor, isso é ainda mais simplificado para:
onde é o cisalhamento na direção radial (para fora do cilindro) e é o cisalhamento na direção tangencial (ao redor do cilindro). É a força tangencial que gira o motor. é a densidade de fluxo na direção radial, e é a densidade de fluxo na direção tangencial.
Na eletrostática
Na eletrostática, os efeitos do magnetismo não estão presentes. Neste caso, o campo magnético desaparece, ou seja, , e obtemos o tensor de tensão de Maxwell eletrostático. Ele é dado na forma de componentes por:
e na forma simbólica por:
onde é o tensor de identidade apropriado geralmente .
Autovalor
Os autovalores do tensor de tensão de Maxwell são dados por:
Esses autovalores são obtidos pela aplicação iterativa do lema dos determinantes da matriz, em conjunto com a fórmula de Sherman–Morrison [en].
Observando que a matriz de equação característica, , pode ser escrita como
onde
definimos
Aplicando o lema do determinante de matriz uma vez, isso nos dá
Aplicá-lo novamente produz,
A partir do último multiplicando no RHS, vemos imediatamente que é um dos autovalores.
Para encontrar o inverso de , usamos a fórmula de Sherman-Morrison:
Fatorando um termo no determinante, resta-nos encontrar os zeros da função racional:
Assim, uma vez que resolvemos
obtemos os outros dois autovalores.
Ver também
Referências
- ↑ Brauer, John R. (13 de janeiro de 2014). Magnetic actuators and densors (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118754979
- ↑ Academia chinesa de ciências (14 de outubro de 2022). «The complex Maxwell stress tensor theorem: A novel scenery underlying electromagnetic optical forces». Phys.org [en] (em inglês). doi:10.1038/s41377-022-00979-2. Consultado em 19 de outubro de 2022
- David J. Griffiths, "Introduction to electrodynamics" (em inglês) páginas 351 – 352, Benjamin Cummings Inc., 2008
- John David Jackson, "Classical electrodynamics" (em inglês), 3ª edição, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
- Richard Becker, "Electromagnetic fields and interactions" (em inglês), Dover publications Inc., 1964.