În matematică produsul Khatri–Rao al matricilor este definit drept[1][2][3]
în care al ij-lea bloc este produsul Kronecker mipi × njqj al blocurilor corespunzătoare din A și B, presupunând că numărul partițiilor pe linii și coloane ale ambelor matrici este egal . Mărimea produsului este atunci (Σi mipi) × (Σj njqj).
De exemplu, dacă ambele A și B sunt partiționate 2 × 2:
se obține:
Aceasta este o submatrice a produsului Tracy–Singh[4] dintre cele două matrici (fiecare partiție din acest exemplu este o partiție într-un colț al produsului Tracy–Singh) și poate fi numită și produsul Kronecker pe blocuri.
Produsul cu divizarea feței
Un concept alternativ al produsului matricial, care utilizează divizarea pe linii a matricilor cu un anumit număr de linii a fost propus de Vadim Sliusar[5] în 1996. [6][7][8][9][10]
Această operație matricială a fost numită „produsul cu divizarea feței” al matricilor[7][9] sau "produsul Khatri–Rao transpus". Acest tip de operație se bazează pe produse Kronecker linie cu linie din două matrici. Folosind matricile din exemplele anterioare partiționate pe linii:
Modele populare de prelucrare a limbajului natural și modele hipergraf de similitudine,[18]
Aproximarea datelor cu funcții P-spline(d),[16]
Modelul liniar generalizat matricial în statistică,[17]
Alte prelucrări statistice, cum ar fi studiile interacțiunilor în mediul genotip X.[19]
Note
^en Khatri, C. G.; Rao, C. R. (). „Solutions to some functional equations and their applications to characterization of probability distributions”. Sankhya. 30: 167–180. Arhivat din original (PDF) la . Accesat în .
^en Liu, Shuangzhe (). „Matrix Results on the Khatri–Rao and Tracy–Singh Products”. Linear Algebra and Its Applications. 289 (1–3): 267–277. doi:10.1016/S0024-3795(98)10209-4 .
^en Zhang X; Yang Z; Cao C. (), „Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices”, Applied Mathematics E-notes, 2: 117–124
^en Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz (). „Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products”. International Journal of Information and Systems Sciences. 4 (1): 160–177.
^en Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): "Interaction Terms in Distance-Based Regression," Communications in Statistics – Theory and Methods, 38:19, p. 3501 [1]
^ abcdeen Slyusar, V. I. (). „End products in matrices in radar applications” (PDF). Izvestiya VUZ: Radioelektronika. 41 (3): 50–53.
^ abcdeen Slyusar, V. I. (). „Analytical model of the digital antenna array on a basis of face-splitting matrix products” (PDF). Proc. ICATT-97, Kyiv: 108–109.
^ abcdefghen Slyusar, V. I. (). „New operations of matrices product for applications of radars” (PDF). Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.: 73–74.
^ abcdefghen Slyusar, V. I. (). „A Family of Face Products of Matrices and its Properties” (PDF). Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999. 35 (3): 379–384. doi:10.1007/BF02733426.
^en Slyusar, V. I. (). „Generalized face-products of matrices in models of digital antenna arrays with nonidentical channels” (PDF). Radioelectronics and Communications Systems. 46 (10): 9–17.
^ abcen Vadym Slyusar. New Matrix Operations for DSP (Lecture). April 1999. – DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1
^ aben C. R. Rao. Estimation of Heteroscedastic Variances in Linear Models.//Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, No. 329 (Mar., 1970), pp. 161–172
^en Masiero, B.; Nascimento, V. H. (). „Revisiting the Kronecker Array Transform”. IEEE Signal Processing Letters. 24 (5): 525–529. Bibcode:2017ISPL...24..525M. doi:10.1109/LSP.2017.2674969. ISSN 1070-9908.
^en Kasiviswanathan, Shiva Prasad, et al. «The price of privately releasing contingency tables and the spectra of random matrices with correlated rows.» Proceedings of the forty-second ACM symposium on Theory of computing. 2010.
^ abcen Thomas D. Ahle, Jakob Bæk Tejs Knudsen. Almost Optimal Tensor Sketch. Published 2019. Mathematics, Computer Science, ArXiv
^ aben Eilers, Paul H.C.; Marx, Brian D. (). „Multivariate calibration with temperature interaction using two-dimensional penalized signal regression”. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 66 (2): 159–174. doi:10.1016/S0169-7439(03)00029-7.
^ abcen Currie, I. D.; Durban, M.; Eilers, P. H. C. (). „Generalized linear array models with applications to multidimensional smoothing”. Journal of the Royal Statistical Society. 68 (2): 259–280. doi:10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x.
^en Bryan Bischof. Higher order co-occurrence tensors for hypergraphs via face-splitting. Published 15 February 2020, Mathematics, Computer Science, ArXiv
^en Johannes W. R. Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. On Hadamard and Kronecker products in covariance structures for genotype x environment interaction.//Plant Genome. 2020;13:e20033. Page 5. [2]
Bibliografie
en Rao C.R.; Rao M. Bhaskara (), Matrix Algebra and Its Applications to Statistics and Econometrics, World Scientific, p. 216
en Zhang X; Yang Z; Cao C. (), „Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices”, Applied Mathematics E-notes, 2: 117–124
en Liu Shuangzhe; Trenkler Götz (), „Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products”, International Journal of Information and Systems Sciences, 4: 160–177