Kompleks koordinat uzayı

Matematikte, n boyutlu karmaşık koordinat uzayı, kompleks uzay ya da karmaşık uzay, sıralı ${\displaystyle n}$ tane karmaşık sayıdan oluşan uzaya verilen addır. Bu uzayın elemanlarına karmaşık (kompleks) vektör adı verilir. Uzay, ${\displaystyle n}$ tane karmaşık düzlemin Kartezyen çarpımıdır ve ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ile gösterilir; yani, $${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\left\{(z_{1},\dots ,z_{n})\mid z_{i}\in \mathbb {C} \right\}}$$ veya $${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \mathbb {C} \times \cdots \times \mathbb {C} } _{n}.}$$ ${\displaystyle z_{i}}$ değişkenlerinin her birine karmaşık (kompleks) koordinat denir.

Karmaşık koordinat uzayı karmaşık sayılar üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayıdır. Vektör uzayındaki toplama işlemi ve skaler çarpım her bir koordinat için ayrı ayrı yapılır. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$deki vektörlerin gerçel ve sanal kısımları, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ile gerçel koordinat uzayı ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ile birebir ve örten bir ilişki kurar. Bu yüzden, olağan Öklid topolojisi aracılığıyla ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ de topolojik vektör uzayı olur.

${\displaystyle n}$ boyutlu karmaşık uzaydaki açık kümeler üstünden tanımlı bir fonksiyonun holomorf olması için her bir karmaşık değişkende ayrı ayrı holomorf olması yeterli ve gereklidir. Çok değişkenli karmaşık analiz birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonları inceleyen bir matematik dalıdır. Daha genel olarak, kompleks manifoldlar, üzerinde holomorf koordinat fonksiyonları olan manifoldlara verilen addır.

• Koordinat uzayı

• Gunning, Robert; Hugo Rossi, Analytic functions of several complex variables