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En mathématiques récréatives, la constante des nombres premiers est le nombre réel , compris entre 0 et 1, dont le -ième chiffre binaire après la virgule est 1 si est premier et 0 si est composé ou égal à 1.
Description
De façon plus rigoureuse, le développement binaire de correspond à la fonction caractéristique de l'ensemble des nombres premiers :
Le début du développement décimal de ρ est : [1]. Le début de son développement binaire est : [2].
On démontre par l'absurde que est irrationnel. Pour cela, supposons qu'il est rationnel, c'est-à-dire de développement périodique à partir d'un certain rang, en base b = 10 comme en toute base b entière, en particulier en base deux.
Notons le -ième chiffre de ce développement binaire de . Il existe donc deux entiers et tels que pour tout .
Pour et comme ci-dessus, choisissons un nombre premier . Alors, , ce qui est absurde puisque est composé.
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime constant » (voir la liste des auteurs).
- ↑ Suite A051006 de l'OEIS
- ↑ Suite A010051 de l'OEIS
Bibliographie
- (en) Eric W. Weisstein, « Prime Constant », sur MathWorld
Nombres premiers |
Donnés par une formule | | |
Appartenant à une suite | |
Ayant une propriété remarquable | |
Ayant une propriété dépendant de la base | |
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres | singleton | | n-uplet | - jumeaux (p, p + 2)
- cousins (p, p + 4)
- sexy (p, p + 6)
- triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6)
- quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8)
- quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)
- sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)
| suite | | |
Classement par taille | |
Généralisations (entier quadratique) | |
Nombre composé | |
Nombre connexe | |
Test de primalité | |
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres | |
Constantes liées aux nombres premiers | |
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