Argument główny liczby zespolonej Ten diagram Arganda reprezentuje liczby zespolone leżące na płaszczyźnie . Dla każdego punktu na płaszczyźnie arg {\displaystyle \arg } jest funkcją, która zwraca kąt φ . Dwie opcje argumentu φ Główną wartością arg {\displaystyle \arg } niebieskiego punktu 1 + i {\displaystyle 1+i} jest π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną z {\displaystyle z} na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: arg ( z ) . {\displaystyle {\mbox{arg}}(z).}
Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność 2 π . {\displaystyle 2\pi .} Argument sprowadzony do przedziału [ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,2\pi )} [1] [2] [3] , lub ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} [4] [5] , nazywa się argumentem głównym . Oznaczenie: Arg ( z ) . {\displaystyle {\mbox{Arg}}(z).}
Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej[6] :
a + b i = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , {\displaystyle a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi ),} gdzie r = a 2 + b 2 = | z | {\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=|z|} jest modułem liczby zespolonej , a ϕ {\displaystyle \phi } jej argumentem.
Dla liczb o niezerowej części rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru:
φ = { arctg ( b a ) , gdy a > 0 arctg ( b a ) + π , gdy a < 0 {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right),&{\mbox{gdy }}a>0\\\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right)+\pi ,&{\mbox{gdy }}a<0\end{cases}}} Dla liczb urojonych, z = b i : {\displaystyle z=bi{:}}
φ = { 1 2 π , gdy b > 0 − 1 2 π , gdy b < 0 {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\pi ,&{\mbox{gdy }}b>0\\-{\frac {1}{2}}\pi ,&{\mbox{gdy }}b<0\end{cases}}} Dla liczby z = 0 , {\displaystyle z=0,} argument jest nieokreślony.
Niech a + b i = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) {\displaystyle a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi )} oraz niech c + d i = ρ ( cos ψ + i sin ψ ) , {\displaystyle c+di=\rho (\cos \psi +i\sin \psi ),} wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:
( a + b i ) ⋅ ( c + d i ) = r ⋅ ρ ( cos ( ϕ + ψ ) + i sin ( ϕ + ψ ) ) {\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=r\cdot \rho (\cos(\phi +\psi )+i\sin(\phi +\psi ))} a + b i c + d i = r ρ ( cos ( ϕ − ψ ) + i sin ( ϕ − ψ ) ) {\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {r}{\rho }}(\cos(\phi -\psi )+i\sin(\phi -\psi ))}
Przypisy ↑ Andrzej Mostowski, Marceli Stark, Elementy algebry wyższej . ↑ Bogdan Miś , Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki . ↑ Reinhardt, Soeder, Atlas matematyki . ↑ Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Complex Argument , [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang. ) . ↑ Encyklopedia szkolna – Matematyka . ↑ argument liczby zespolonej , [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-10] . Liczby zespolone
pojęcia podstawowe płaszczyzna zespolona podstawy układ współrzędnych kartezjańskich układ współrzędnych biegunowych
istotne podzbiory twierdzenia struktury tworzone przez cały zbiórstruktury tworzone przez podzbiory inne pojęcia powiązane działy matematyki badacze według daty narodzinuogólnienia